Question

18．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞1\\{2^{-x+1}}，x≤1\end{array}\right.$，若方程$f（x）-ax=\frac{5}{2}$有3個不同的解，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{5}{2}]$
• B． $（-\frac{5}{2}，-\frac{3}{2}]$
• C． $[-\frac{5}{2}，-\frac{3}{2}]$
• D． $（-\frac{3}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 方程$f（x）-ax=\frac{5}{2}$有3個不同的解，即$f（x）=ax+\frac{5}{2}$有3個不同的解，等價于y=f（x）與$y=ax+\frac{5}{2}$的圖象有3個不同的交點，因為直線$y=ax+\frac{5}{2}$恒過$（{0，\;\;\frac{5}{2}}）$，所以滿足條件的直線應在圖中的l₁與l₂之間，求出斜率，即可得出結論．

解答 解：f（x）的圖象如圖所示，方程$f（x）-ax=\frac{5}{2}$有3個不同的解，即$f（x）=ax+\frac{5}{2}$有3個不同的解，
等價于y=f（x）與$y=ax+\frac{5}{2}$的圖象有3個不同的交點，
因為直線$y=ax+\frac{5}{2}$恒過$（{0，\;\;\frac{5}{2}}）$，
所以滿足條件的直線應在圖中的l₁與l₂之間，斜率分別是${k_1}=\frac{{\frac{5}{2}-1}}{0-1}=-\frac{3}{2}$，${k_2}=\frac{{\frac{5}{2}-0}}{0-1}=-\frac{5}{2}$，故$a∈（{-\frac{5}{2}，\;\;-\frac{3}{2}}]$，
故選B．

點評 本題考查方程解的研究，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是關鍵．