Question

2．已知函數$f（x）=cosx•cos（x-\frac{π}{3}）$．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）若直線y=a與函數f（x）的圖象無公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用兩角差的余弦公式和二倍角公式，化簡可得f（x），再由余弦函數的單調區間，解不等式可得所求增區間；
（2）求得f（x）的最值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）函數$f（x）=cosx•cos（x-\frac{π}{3}）$=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1+cos2x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即f（x）的增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）由（1）可得當2x-$\frac{π}{3}$=2kπ，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z時，f（x）取得最大值$\frac{3}{4}$；
當2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+π，即x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z時，f（x）取得最小值-$\frac{1}{4}$．
由直線y=a與函數f（x）的圖象無公共點，
可得a的范圍是a＞$\frac{3}{4}$或a＜-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查三角函數的化簡和求值，考查余弦函數的圖象和性質，屬于中檔題．