Question

5．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₅=2a₄+3a₃，存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為
$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₃q²=2a₃q+3a₃，解可得q的值，進(jìn)而分析$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$可得3^m-1×3^n-1=27×27，化簡(jiǎn)可得m+n=8，進(jìn)而可得$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{8}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{8}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），由基本不等式的性質(zhì)計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{a_n}滿足a₅=2a₄+3a₃，即a₃q²=2a₃q+3a₃，
則有q²=2q+3，
解可得q=3或-1，
又由等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)都為正數(shù)，則有q＞0，
即q=3，
若$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$，則有a_m•a_n=（27a₁）²，
變形可得3^m-1×3^n-1=27×27，
即m+n=8，
$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{8}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{8}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{9}{8}$，
即$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{9}{8}$，
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出m+n的值．