Question

10．對于函數f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R），
（1）判斷并證明函數的單調性；　　
（2）是否存在實數a，使函數f（x）為奇函數．證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義進行證明即可，
（2）結合函數奇偶性的定義進行證明．

解答 解：（1）函數f（x）為R上的增函數．證明如下：
函數f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因為y=2^x是R上的增函數，所以${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），函數f（x）為R上的增函數．
（2）存在實數a=1，使函數f（x）為奇函數．
證明如下：當a=1時，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
對?x∈R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
即f（x）為奇函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．