Question

1．請閱讀：在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊對x求導，得（-sin2x）•2=4cosx（-sinx），化簡后得等式sin2x=2cosxsinx．
利用上述方法，試由等式${（1+x）^n}=C_n^0+C_n^1x+…+C_n^{n-1}{x^{n-1}}+C_n^n{x^n}$（x∈R，正整數n≥2），
（1）證明：$n[{（1+x）^{n-1}}-1]=\sum_{k=2}^n{kC_n^k{x^{k-1}}}$；（注：$\sum_{i=1}^n{{a_i}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}}$）
（2）求$C_{10}^1+2C_{10}^2+3C_{10}^3+…+10C_{10}^{10}$；
（3）求${1^2}C_{10}^1+{2^2}C_{10}^2+{3^2}C_{10}^3+…+{10^2}C_{10}^{10}$．

Answer 1

分析 （1）對二項式定理的展開式兩邊對x求導數，移項得到恒等式．
（2）在等式（1）中，令x=1，可得，n（2^n-1-1）=$\sum_{k=2}^{n}$•k，從而求得要求式子的值．
（3）在（1）中的結論兩邊同乘x，再兩邊求導即可得出結論．

解答 解：（1）證明：在等式${（1+x）^n}=C_n^0+C_n^1x+…+C_n^{n-1}{x^{n-1}}+C_n^n{x^n}$（x∈R，正整數n≥2）中，
兩邊對x求導，得：n（1+x）^n-1=${C}_{n}^{1}$+2${C}_{n}^{2}$x+3${C}_{n}^{3}$•x²+…+n${C}_{n}^{n}$•x^n-1，
移項，得：n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=2}^{n}$k•${C}_{n}^{k}$•x^k-1．
（2）由（1）令x=1可得，n（2^n-1-1）=$\sum_{k=2}^{n}$k${C}_{n}^{k}$，
令n=10，得C₁₀¹+2C₁₀²+3C₁₀³+…+10C₁₀¹⁰=10+10（2⁹-1）=5120；
（3）由（1）得n（1+x）^n-1=${C}_{n}^{1}$+2${C}_{n}^{2}$x+3${C}_{n}^{3}$•x²+…+n${C}_{n}^{n}$•x^n-1，
∴nx（1+x）^n-1=${C}_{n}^{1}$x+2${C}_{n}^{2}$x²+3${C}_{n}^{3}$•x³+…+n${C}_{n}^{n}$•xⁿ，
兩邊求導得n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2=${C}_{n}^{1}$+2²${C}_{n}^{2}$x+3²${C}_{n}^{3}$•x²+…+n²${C}_{n}^{n}$•x^n-1，
令x=1，n=10，可得：10×2⁹+90×2⁸=${C}_{10}^{1}$+2²${C}_{10}^{2}$+3²${C}_{10}^{3}$•+…+n²${C}_{10}^{10}$．
∴1²${C}_{10}^{1}$+2²${C}_{10}^{2}$+3²${C}_{10}^{3}$•+…+n²${C}_{10}^{10}$=10×2⁹+90×2⁸=10×2⁸×（2+90）=920×2⁸．

點評 本題考查了二項式定理，類比推理，屬于中檔題．