Question

16．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程．
（2）若F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，A、B為橢圓的兩點，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{B{F}_{2}}$，求直線AF₁的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過點P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），且離心率e=$\frac{1}{2}$，列方程組求出a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，由此能求出橢圓方程．
（2）延長AF₁交橢圓B′，由對稱性可知$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}{B}^{'}}$，設直線AF₁：y=kx+1，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+4）x²+6kx-9=0，由此利用韋達定理能求出直線AB的斜率．

解答 解：（1）由題意知$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，
又a²=b²+c²，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1
故所求的橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1…．（6分）
（2）延長AF₁交橢圓B′，
由對稱性可知$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}{B}^{'}}$，
設A（x₁，y₁），B′（x₂，y₂），$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{F}_{1}{B}^{'}}$，∴x₂=-2x₁①
當直線AB′斜率不存在時，不符合
當直線AB′斜率存在時，設直線AB的斜率為k，
又F₁（0，1）∴直線AF₁：y=kx+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0
∴x₁+x₂=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+4}$，②
x₁x₂=$\frac{-9}{3{k}^{2}+4}$，③
由①②③得k=±$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
故直線AB的斜率為±$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$…（12分

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓、直線方程、韋達定理基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．