Question

8．已知函數f（x）=e^x-x²-1，x∈R
（1）求函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當x∈R時，求證：f（x）≥-x²+x．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（2）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x，
∴k=f′（0）=1，又f（0）=0，
切點坐標為（0，0），故所求切線方程為：y=x；
（2）證明：令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
當x∈（-∞，0）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調遞增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．