Question

18．已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值；
（Ⅱ）a≤lnx+$\frac{1}{x}$（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，則a≤g（x）_min（x≥1）恒成立；根據函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；
（Ⅲ）問題轉化為y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點，根據函數的單調性求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，
當x≥1時，f（x）≥ax-1恒成立
?xlnx≥ax-1（x≥1）恒成立
?a≤lnx+$\frac{1}{x}$（x≥1）恒成立，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，則a≤g（x）_min（x≥1）恒成立；
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴當x≥1時，f′（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=1，
∴a≤1，即實數a的取值范圍為（-∞，1]．
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實數根，
即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點，
由（Ⅰ）0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f（x）＜0，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
故-$\frac{1}{e}$＜b＜0時，滿足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點，
即若關于x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實數根，則-$\frac{1}{e}$＜b＜0．

點評 本題考查函數恒成立問題，分離參數a是關鍵，考查等價轉化思想與構造函數思想，考查導數法判定函數單調性的應用及運算求解能力，屬于中檔題．