Question

7．已知三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=6，則該三棱錐的外接球的體積是（　　）

• A． 48π
• B． 32$\sqrt{3}$π
• C． 18$\sqrt{3}$π
• D． 8$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 過△ABC的中心作平面ABC的垂線，利用勾股定理計算球的半徑，即可得出球的體積．

解答 解：設(shè)D為△ABC的中心，O為外接球的球心，E為PA的中點．
則OD⊥平面ABC，OA=OP，
從而OE⊥PA，OD∥PA，
因為AB=BC=CA=3，則AD=$\frac{2}{3}$×AB×sin 60°=$\sqrt{3}$．
∵PA=6，則OD=EA=3．所以O(shè)A=$\sqrt{A{D}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
三棱錐的外接球的體積V=$\frac{4}{3}$π×OA³=32$\sqrt{3}$π，
故選B．

點評 本題考查了球與棱錐的位置關(guān)系，幾何體的體積計算，屬于中檔題．