Question

12．四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，過點B作直線l∥PD，Q為直線l上一動點．
（1）求證：QP⊥AC；
（2）當面PAC⊥面QAC時，求三棱錐Q-ACP的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出直線QP在面ABCD上的射影為DB，DB⊥AC，由三垂線定理證明QP⊥AC．
（2）設AC和BD的交點為O，連接OP、OQ，三棱錐Q-ACP的體積V_Q-ACP=V_A-POQ+V_C-POQ，由此能求出結果．

解答 證明：（1）由題意知直線QP在面ABCD上的射影為DB，
又菱形ABCD中DB⊥AC，
由三垂線定理知QP⊥AC．
解：（2）△PAC和△QAC都是以AC為底的等腰三角形，
設AC和BD的交點為O，
連接OP、OQ，則OP⊥AC，OQ⊥AC，∴AC⊥面POQ．
面PAC⊥面QAC知：OP⊥OQ．
在Rt△POD中，$OP=\sqrt{7}$，設QB=x，則Rt△OBQ中，$OQ=\sqrt{{x^2}+3}$，
在直角梯形PDBQ中，$PQ=\sqrt{{{（2-x）}^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{{x^2}-4x+16}$，
在△POQ中，$PQ=\sqrt{O{P^2}+O{Q^2}}=\sqrt{{x^2}+10}$，
故$\sqrt{{x^2}-4x+16}=\sqrt{{x^2}+10}$，
解得$x=\frac{3}{2}$，即$QB=\frac{3}{2}$．
同時$OQ=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{21}}}{2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{4}$，
∴三棱錐Q-ACP的體積${V_{Q-ACP}}={V_{A-POQ}}+{V_{C-POQ}}=\frac{1}{3}{S_{△POQ}}•AC=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．