Question

9．已知函數f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x+α的最大值與最小值之和為-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使得函數f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，可得a的值，即得到f（x）的解析式．
（Ⅱ）函數f（x）≥0，結合三角函數的圖象和性質，求解即可．

解答 解：函數f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x+α．
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$+a
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2+a．
（Ⅰ）∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值為1，最小值為-1．
∴4+2a=-2，
則 a=-3．
∴函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅱ）函數f（x）≥0，即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1≥0．
得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）$≥\frac{1}{2}$．
∴$\frac{π}{6}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}+2kπ$．k∈Z．
解得：kπ≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
故得使得函數f（x）≥0成立的x的集合為{x|kπ≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．