Question

14．已知函數$f（x）=2cos（x+\frac{π}{3}）[sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}cos（x+\frac{π}{3}）]$．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）方程f（x）=m在$x∈[0，\frac{π}{6}]$內有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）$x∈[0，\frac{π}{6}]$內有時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，可得f（x）的值域．即得實數m的取值范圍．

解答 解：函數$f（x）=2cos（x+\frac{π}{3}）[sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}cos（x+\frac{π}{3}）]$．
化簡可得：f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$×2cos²（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）$-\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$）$-\sqrt{3}$
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
（1）∵-1≤sin（2x$+\frac{π}{3}$）≤1．
∴-2-$\sqrt{3}$≤2sin（2x$+\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$≤2-$\sqrt{3}$，
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
即f（x）的值域為[-2-$\sqrt{3}$，2$-\sqrt{3}$]，最小正周期為π．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
故sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]，
即實數m的取值范圍是[$0，2-\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．