Question

19．7人站成一排，求滿足下列條件的不同站法：
（1）甲、乙兩人相鄰；
（2）甲、乙之間隔著2人；
（3）若7人順序不變，再加入3個人，要求保持原先7人順序不變；
（4）甲、乙、丙3人中從左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；
（5）若甲、乙兩人去坐標號為1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人兩邊都有空位的坐法．

Answer 1

分析 （1）（捆綁法），把甲乙二人捆綁在一起，再和其他5人全排列，
（2）（捆綁法），先從5人選2人放著甲乙二人之間，并捆綁在一起，再和其他3人全排列，
（3）（插空法），原先7人排列形成8個空，先插入1人，再從形成的9個空再插入1人，再從10個空中插入1人，
（4）（分步計數法），從7人中任取3人，如a，b，c，則改變原位置站法有2種，b，c，a和c，a，b，
（5）（定序法），先全排列，再除以順序數，
（6）（固定模型法），先排列甲的情況．

解答 解：（1）（捆綁法），把甲乙二人捆綁在一起，再和其他5人全排列，故有$A_2^2A_6^6=1440$種，
（2）（捆綁法），先從5人選2人放著甲乙二人之間，并捆綁在一起，再和其他3人全排列，故有$A_5^2A_2^2A_4^4=960$種，
（3）（插空法），原先7人排列形成8個空，先插入1人，再從形成的9個空再插入1人，再從10個空中插入1人，故有$C_8^1C_9^1C_{10}^1=720$種，
（4）（分步計數法），從7人中任取3人，如a，b，c，則改變原位置站法有2種，b，c，a和c，a，b，固有$C_7^3×2=70$種，
（5）（定序法），先全排列，再除以順序數，故有$\frac{A_7^7}{A_3^3}=840$種，
（6）（固定模型法），甲、乙兩人坐法有（2，4）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，6）6種，故有6×$A_2^2=12$種

點評 本題考查了排列的組合的問題，掌握常用的方法是關鍵，屬于中檔題