Question

13．已知函數f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點，求f（x）在[-1，a]上的最大值和最小值．
（2）若f（x）在區間上[1，+∞）是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f′（-$\frac{1}{3}$）=3×$\frac{1}{9}$+2a×$\frac{1}{3}$-3=0，得a=4，f（x）=x³-4x²-12，f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，3，討論定義域內各區間導數的符號，從而確定最值．
（2）f（x）在區間上[1，+∞）是增函數，則f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，即a$≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，a$≤[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}$即可

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點，則f′（-$\frac{1}{3}$）=3×$\frac{1}{9}$+2a×$\frac{1}{3}$-3=0，
解得a=4，f（x）=x³-4x²-12，f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，3，
x，f（x），f′（x）變化如下表：

x	-1	（-1-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}，3$）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函數	$\frac{14}{27}$	減函數	-18	增函數	-12

所以f（x）_max=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{14}{27}$，f（x）_min=f（3）=18
（2）函數f（x）=x³-ax²-3x求導得f′（x）=3x²-2ax-3，
f（x）在區間上[1，+∞）是增函數，則f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，
即a$≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，a$≤[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}$，y=x-$\frac{1}{x}$在[1，+∞）為增函數，則（x-$\frac{1}{x}$）_min=0
∴a≤0，∴實數a的取值范圍為（-∞，0]

點評 本題考查了導數的應用，利用導數求極值、單調性、最值，屬于中檔題．