Question

18．已知函數$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數g（x）的圖象，且g（x）為偶函數，則f（x）的單調遞增區間為（　　）

• A． $[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]，k∈z$
• B． $[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{4π}{3}}]，k∈z$
• C． $[{2kπ-\frac{π}{6}，2kπ+\frac{π}{3}}]，k∈z$
• D． $[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈z$

Answer 1

分析 根據條件求出函數的解析式，結合三角函數的單調性進行求解即可．

解答 解：∵函數f（x）的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即周期T=$π=\frac{2π}{ω}$，則ω=2，
此時f（x）=2sin（2x+φ），
把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數g（x）的圖象，
則g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=2sin（2x+φ-$\frac{π}{3}$），
∵g（x）為偶函數，
∴φ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
則φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當k=-1時，φ=$\frac{5π}{6}$-π=-$\frac{π}{6}$，
則f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ-$\frac{π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
故選：C．

點評 本題主要考查三角函數解析式以及三角函數單調性的求解，根據條件求出ω 和φ的值是解決本題的關鍵．