Question

15．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），A（$\frac{1}{3}$，0）為f（x）圖象的對稱中心，若該圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f（x）的單調遞增區間是（　　）

• A． （2k-$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$），k∈Z
• B． （2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z
• C． （4k-$\frac{2}{3}$，4k+$\frac{4}{3}$），k∈Z
• D． （4kπ-$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z

Answer 1

分析 根據A（$\frac{1}{3}$，0）為f（x）圖象的對稱中心，求解φ，相鄰兩條對稱軸間的距離為2，可得周期T，求出ω，即可求f（x）的單調遞增區間．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ），
∵相鄰兩條對稱軸間的距離為2，即周期T=2×2=4
由T=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{π}{2}$．
∵A（$\frac{1}{3}$，0）為f（x）圖象的對稱中心，即0=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}×\frac{1}{3}$+φ），
可得：$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$），
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
則f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x$-\frac{π}{6}$），
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$\frac{π}{2}$x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$4k-\frac{2}{3}≤x≤\frac{4}{3}+4k$．
故選：C．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用條件求解函數解析式是解決本題的關鍵．屬于基礎題．