Question

18．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別是A₁B，AC₁的中點．
（1）求證：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（2）若A₁A=2AB=2BC=4，求三棱錐F-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結A₁F，則F為A₁C的中點，于是EF∥BC，通過證明BC⊥平面ABB₁A₁得出EF⊥平面ABB₁A₁，故而平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（2）F到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}$AA₁=2，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 （1）證明：連結A₁F，則F為A₁C的中點，
又E是A₁B的中點，
∴EF∥BC，
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴EF⊥平面ABB₁A₁，
又EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵F是A₁C的中點，
∴F到平面ABC的距離d=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
∴V_F-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎題．