Question

13．△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且asinA-csinC=（a-b）sinB，c=3．則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 通過正弦定理化簡表達式，利用余弦定理求出C的大小，進而利用余弦定理可求ab≤9，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵asinA-csinC=（a-b）sinB，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得a²=（a-b）b+c²，
即a²+b²-c²=ab．①
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
結合0＜C＜π，得C=$\frac{π}{3}$．
∵c=3，
∴由余弦定理可得：9=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，當且僅當a=b等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，即△ABC面積的最大值為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理與余弦定理的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查了計算能力，屬于中檔題．