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4.已知函數$f(x)=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a>0)$
(1)設a>1,試討論f(x)單調性;
(2)設g(x)=x2-2bx+4,當$a=\frac{1}{4}$時,任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實數b的取值范圍.

分析 (1)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區間即可;
(2)根據函數的單調性得到f(x1)≥f(1)=-$\frac{1}{2}$,問題轉化為存在x2∈[1,2],使得$g({x_2})≤-\frac{1}{2}$,分離參數即得到$2b≥x+\frac{9}{2x}$在x∈[1,2]時有解,求出b的范圍即可.

解答 解:(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞),
$f'(x)=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}$=$\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{(-x+1)(ax+(a-1))}{x^2}$,
令f'(x)=0,則x1=1,${x_2}=\frac{1-a}{a}$(a>1,x2<0)舍去.
令f'(x)>0,則x>1,令f'(x)<0,則0<x<1,
所以當x∈(1,+∞)時,函數f(x)單調遞增;當x∈(0,1)時,函數f(x)單調遞減;
(2)當$a=\frac{1}{4}$時,
由(1)可知f'(x)=0的兩根分別為x1=1,${x_2}=\frac{1-a}{a}=3$
令f'(x)>0,則0<x<1或x>3,令f'(x)<0,則1<x<3
可知函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增,
所以對任意的x1∈(0,2),有$f({x_1})≥f(1)=ln1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$,
由條件知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
所以$g({x_2})≤-\frac{1}{2}$即存在x2∈[1,2],使得$g({x_2})≤-\frac{1}{2}$,
分離參數即得到$2b≥x+\frac{9}{2x}$在x∈[1,2]時有解,
由于$t=x+\frac{9}{2x}$(x∈[1,2])為減函數,故其最小值為$\frac{17}{4}$,
從而$2b≥\frac{17}{4}$$b≥\frac{17}{8}$,所以實數b的取值范圍是$[\frac{17}{8},+∞)$.

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,轉化思想,是一道綜合題.

練習冊系列答案
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