Question

12．已知函數f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）在給出的直角坐標系中作出函數y=f（x）的圖象，并從圖中找出滿足不等式f（x）≤3的解集；
（2）若函數y=f（x）的最小值記為m，設a，b∈R，且有a²+b²=m，試證明：$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函數的形式，畫出函數的圖象，結合圖象求出不等式的解集即可；
（2）求出m的值，得到${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$，根據不等式的性質證明即可．

解答 解：（1）因為f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{-x+2，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
所以作出函數f（x）的圖象如圖所示．

從圖中可知滿足不等式f（x）≤3的解集為[-1，1]．
（2）證明：從圖中可知函數y=f（x）的最小值為$\frac{3}{2}$，即$m=\frac{3}{2}$．
所以${a^2}+{b^2}=\frac{3}{2}$，從而${a^2}+1+{b^2}+1=\frac{7}{2}$，
故$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}$=$\frac{2}{7}$[（a²+1）+（b²+1）]（$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4}{^{2}+1}$）
=$\frac{2}{7}[5+（\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}+\frac{{4（{a^2}+1）}}{{{b^2}+1}}）]≥$$\frac{2}{7}[5+2\sqrt{\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}•\frac{{4（{a^2}+1）}}{{{b^2}+1}}}]=\frac{18}{7}$，
當且僅當$\frac{{{b^2}+1}}{{{a^2}+1}}=\frac{{4（{a^2}+1）}}{{{b^2}+1}}$時，等號成立，
即${a^2}=\frac{1}{6}$，${b^2}=\frac{4}{3}$時，原式有最小值，
所以$\frac{1}{{{a^2}+1}}+\frac{4}{{{b^2}+1}}≥\frac{18}{7}$得證．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及數形結合思想，考查不等式的性質，是一道中檔題．