Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點為F，上頂點為A，點P是該橢圓上的動點，當△PAF的周長最大時，△PAF的面積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用橢圓定義轉化可得使△PAF的周長最大時的P的位置，求出其縱坐標，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得a²=2，b²=1，
則c²=a²-b²=1．
∴F（1，0），而A（0，1），
如圖：

設F′是左焦點，
則△APF周長=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=3a+|AP|-|PF′|
≤$3\sqrt{2}$+|AF′|（A，P，F′三點共線時，且P在AF′的延長線上，取等號），
直線AF′的方程為y=x+1，與橢圓方程聯立可得${y}_{P}=-\frac{1}{3}$．
∴當△PAF的周長最大時，△PAF的面積為$\frac{1}{2}×2×（1+\frac{1}{3}）=\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查橢圓的定義，以及三點共線時取得最值，同時考查三角形面積的計算，確定P的坐標是關鍵，是中檔題．