Question

9．如圖所示，正三角形ABC所在平面與梯形BCDE所在平面垂直，BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，F為棱AE的中點．
（1）求證：直線AB⊥平面CDF；
（2）若異面直線BE與AD所成角為45⁰，求二面角B-CF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點M，連接MF，MC，可得四邊形MFDC為平行四邊形，MC∥FD；
由CM⊥AB，得DF⊥AB；又CD⊥AB，CD∩DF=D，即可得AB⊥平面CDF．
（2）異面直線BE，AD所成角即直線DA，DC所成角，可得AC=CD=2，
以B為原點，建立空間直角坐標系B-xyz，如圖2所示，
則$B（0，\;\;0，\;\;0），\;\;E（4，\;\;0，\;\;0），\;\;A（0，\;\;1，\;\;\sqrt{3}），\;\;C（0，\;\;2，\;\;0），\;\;F（{2，\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，$\overrightarrow{BF}=（{2，\;\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\;\;\overrightarrow{BC}=（0，\;\;2，\;\;0）$，利用向量法求解

解答 解：（1）證明：取AB中點M，連接MF，MC，因為M為AB中點，
所以MF平行且等于$\frac{1}{2}BE$，
又CD平行且等于$\frac{1}{2}BE$，所以MF平行且等于CD，
所以四邊形MFDC為平行四邊形，所以MC∥FD；
因為△ABC為正三角形，M為AB中點，所以CM⊥AB，從而DF⊥AB；
又平面ABC⊥平面BCDE，CD⊥BC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD⊥AB，CD∩DF=D，∴AB⊥平面CDF．
（2）解：異面直線BE，AD所成角即直線DA，DC所成角，則∠ADC=45°，
又∠ACD=90°，則AC=CD=2，
以B為原點，建立空間直角坐標系B-xyz，如圖2所示，
則$B（0，\;\;0，\;\;0），\;\;E（4，\;\;0，\;\;0），\;\;A（0，\;\;1，\;\;\sqrt{3}），\;\;C（0，\;\;2，\;\;0），\;\;F（{2，\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，$\overrightarrow{BF}=（{2，\;\;\;\frac{1}{2}，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\;\;\overrightarrow{BC}=（0，\;\;2，\;\;0）$，
設平面BCF的法向量為$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0，\;\;\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x+\frac{1}{2}y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0，\;\;\\ 2y=0，\;\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}z，\;\;\\ y=0，\;\;\end{array}\right.$
令z=-4，得$\vec n=（\sqrt{3}，\;\;0，\;\;-4）$，
由（1）可知AB⊥平面CDF，
所以$\overrightarrow{AB}=（0，\;\;-1，\;\;-\sqrt{3}）$為平面CDF的一個法向量．cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}×2}$=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$
∵二面角B-CF-D為鈍角，所以二面角B-CF-D的余弦值為$-\frac{{2\sqrt{57}}}{19}$．

點評 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，考查了計算能力、空間想象能力，屬于中檔題．