Question

1．已知直線l和橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1交于A、B兩點，點P（0，-1）且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BA}$的最小值為$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$）=$\overrightarrow{PA}$²-$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=丨$\overrightarrow{PA}$丨²，則丨$\overrightarrow{PA}$丨²的最小值即為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BA}$的最小值，利用橢圓的參數方程，

解答 解：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$）=$\overrightarrow{PA}$²-$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=丨$\overrightarrow{PA}$丨²，
欲求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BA}$的最小值，只需求丨$\overrightarrow{PA}$丨²的最小值
設A（2cosθ，4sinθ），則$\overrightarrow{PA}$=（2cosθ，4sinθ+1），丨$\overrightarrow{PA}$丨²=4cos²θ+16sin²θ+8sinθ+1，
=12sin²θ+8sinθ+5，
=12（sinθ+$\frac{1}{3}$）+$\frac{11}{3}$≥$\frac{11}{3}$，
∴丨$\overrightarrow{PA}$丨²的最小值$\frac{11}{3}$，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BA}$的最小值$\frac{11}{3}$，
故答案為：$\frac{11}{3}$．

點評 本題考查向量的坐標運算，橢圓的參數方程，考查計算能力，屬于中檔題．