Question

6．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2$\sqrt{3}$（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圓半徑為$\sqrt{3}$，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦定理結合R，化簡已知等式得到a²+b²-c²=ab，利用余弦定理算出cosC=$\frac{1}{2}$，從而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤9，用正弦定理的面積公式即可算出△ABC的面積的最大值．

解答 解：∵△ABC的外接圓半徑為R=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理，可得a=2RsinA=2$\sqrt{3}$sinA，b=2RsinB=2$\sqrt{3}$sinB，
代入已知等式得 2$\sqrt{3}$sin²A-2$\sqrt{3}$sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB-2$\sqrt{3}$sin²B，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴a²+b²-c²=ab，
由此可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
結合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2RsinC）²=a²+b²-9≥2ab-9，
∴ab≤9（當且僅當a=b時，取等號），
∵△ABC面積為S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴當且僅當a=b=3時，△ABC的面積的最大值為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故選：D．

點評 本題給出三角形的邊角關系，求三角形面積的最大值，著重考查了正余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．