Question

13．已知函數f（x）=（x+a）e^x，其中a∈R
（1）若曲線y=f（x）在點A（0，a）處的切線與直線y=|2a-1|x平行，求l的方程；
（2）若?a∈[1，2]，函數f（x）在（b-e^a，2）上為增函數，求證：e²-3≤b＜e^a+2．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，利用斜率關系求出a的值，求得A的坐標，代入直線方程點斜式得l的方程；
（2）由f（x）在（b-e^a，2）上為增函數，得到b≥e^a-a-1且b＜e^a+2，令g（a）=e^a-a-1，再由導數證明g（a）的最小值為e²-3得答案．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+（x+a）e^x=（x+a+1）e^x，
則在A（0，a）處的切線的斜率為：f′（0）=a+1，
∵切線與直線平行，故a+1=|2a-1|，解得：a=0或a=2，
若a=0，則A（0，0），f′（0）=1，
∴切線方程是：y-0=1×（x-0），即y=x；
若a=2，則A（0，2），f′（0）=3，
∴切線方程是：y-2=2×（x-0），
即y=2x+2；
（2）證明：當?a∈[1，2]時，函數f（x）在（b-e^a，2）為增函數，
則在此范圍內，f′（x）=（x+a+1）e^x≥0恒成立，
∵e^x＞0，則x+a+1≥0，
∵a∈[1，2]，∴b-e^a+a+1≥0且b-e^a＜2，
故b≥e^a-a-1且b＜e^a+2，
令g（a）=e^a-a-1，則g′（a）=e^a-1，
當a∈[1，2]時，g′（a）＞0，
∴g（a）在[1，2]遞增，
∴g（a）_max=g（2）=e²-2-1=e²-3，
∴若要b≥e^a-a-1在[1，2]內恒成立，
只需b≥e²-3即可，
綜上：e²-3≤b＜e^a+2．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數研究函數的單調性，考查數學轉化思想方法，是中檔題．