Question

11．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，則z=x²+y²+2y的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{25}{4}$，8]
• B． [$\frac{31}{5}$，$\frac{212}{9}$]
• C． [8，$\frac{212}{9}$]
• D． [$\frac{31}{5}$，8]

Answer 1

分析 根據已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標函數的最大值．

解答 解：實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$的可行域如圖所示，由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），
目標函數z=x²+y²+2y的幾何意義是可行域內的點到點（0，-1）距離的平方減1由圖形可知僅在點A（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），
取得最大值，z=（$\frac{10}{3}$）²+（$\frac{8}{3}$）²+2×$\frac{8}{3}$=$\frac{212}{9}$．
由圖知，原點到直線x+2y-4=0的距離最小，
d=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
可得z=x²+y²+2y=d²-1=$\frac{31}{5}$．
則z=x²+y²+2y取值范圍為[$\frac{31}{5}$，$\frac{212}{9}$]，
故選：B．

點評 用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．判斷幾何意義，最后比較，即可得到目標函數的最優解．