Question

2．已知函數f（x）=lnx．
（1）設h（x）為偶函數，當x＜0時，h（x）=f（-x）+2x，求曲線y=h（x）在點（1，-2）處的切線方程；
（2）設g（x）=f（x）-mx，求函數g（x）的極值；
（3）若存在x₀＞1，當x∈（1，x₀）時，恒有f（x）＞$\frac{1}{2}{x}^{2}+（k-1）x-k+\frac{1}{2}$成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）的解析式，求出函數的導數，計算h′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（3）通過討論k的范圍，求出函數的單調性，結合題意求出k的范圍即可．

解答 解：（1）x＜0時，h（x）=f（-x）+2x，h（x）是偶函數，
故h（x）=lnx-2x，（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-2，故h′（1）=-1，
故切線方程是：y+2=-（x-1），
即x+y+1=0；
（2）g（x）=lnx-mx，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-m，
m≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，函數無極值，
m＞0時，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{m}$，令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{m}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{m}$）遞增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）遞減，
故g（x）的最大值是g（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1；無極小值；
（3）證明：設g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-（k-1）x+k-$\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞），
則g′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{2}$，
當x＞1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
所以當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，
即當x＞1時，f（x）＜x-1；
①當k=1時，由（2）知，當x＞1時，f（x）＜x-1，
此時不存在x₀＞1，不滿足題意；
②當k＞1時，x＞1，f（x）＜x-1＜k（x-1），
此時不存在x₀＞1，不滿足題意；
③當k＜1時，設h（x）=f（x）-k（x-1），x＞1，
則h′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（1-k）x+1}{x}$，
令h′（x）=0，即-x²+（1-k）x+1=0，
得x₁=$\frac{1-k-\sqrt{{（1-k）}^{2}+4}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1-k+\sqrt{{（1-k）}^{2}+4}}{2}$＞1，
所以當x∈（1，x₂）時，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x₂）上單調遞增，
取x₀=x₂，所以當x∈（1，x₀）時，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x-1），
綜上，實數k的取值范圍是（-∞，1）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的由于以及分類討論思想，是一道中檔題．