Question

13．已知數列{a_n}中，a₁=3，n（a_n+1-a_n）=a_n+1，n∈N^*若對于任意的a∈[-1，1]，n∈N^*，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1恒成立，則實數t的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 n（a_n+1-a_n）=a_n+1，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1化為：4-$\frac{1}{n+1}$＜t²-2at+1，根據對于任意的a∈[-1，1]，n∈N^*，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1恒成立，可得t²-2at+1≥4，化為：t²-2at-3≥0，對t分類討論即可得出．

解答 解：∵n（a_n+1-a_n）=a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
=$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）$+3
=1-$\frac{1}{n}$+3（n=1時也成立）．
∴不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1化為：4-$\frac{1}{n+1}$＜t²-2at+1，
∵對于任意的a∈[-1，1]，n∈N^*，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1恒成立，
∴t²-2at+1≥4，
化為：t²-2at-3≥0，
t≠0，t＞0時，a≤$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，可得1≤$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，化為t²-2t-3≥0，t＞0，解得t≥3．
t＜0時，a≥$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，可得-1≥$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，化為t²+2t-3≥0，t＜0，解得t≤-3．
則實數t的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點評 本題考查了數列遞推關系、裂項求和方法、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．