Question

3．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}x，0≤x≤a\\ \frac{1}{1-a}（{1-x}），a＜x≤1\end{array}$，a為常數，且a∈（0，1）．
（1）若x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的一階周期點，證明函數f（x）有且只有兩個一階周期點；
（2）若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，則稱x₀為f（x）的二階周期點，當a=$\frac{1}{2}$時，求函數f（x）的二階周期點．

Answer 1

分析 （1）利用定義通過當0≤x≤a時，當a＜x≤1時，驗證函數f（x）有且只有兩個一階周期點．
（2）當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，0≤x≤\frac{1}{2}\\ 2（{1-x}），\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}\right.$，推出$f（{f（x）}）=\left\{\begin{array}{l}4x，0≤x≤\frac{1}{4}\\ 2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}\\ 4x-2，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}\\ 4-4x，\frac{3}{4}≤x≤1\end{array}\right.$，利用函數的定義域，通過分段求解即可．

解答 （1）證明：由題可得，當0≤x≤a時，$\frac{1}{a}x=x$，因為a∈（0，1），所以x=0； …（2分）
當a＜x≤1時，$\frac{1}{1-a}（1-x）=x$，因為a∈（0，1），所以x=$\frac{1}{2-a}$，
所以函數f（x）有且只有兩個一階周期點．…（4分）
（2）解：當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，0≤x≤\frac{1}{2}\\ 2（{1-x}），\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}\right.$
所以$f（{f（x）}）=\left\{\begin{array}{l}4x，0≤x≤\frac{1}{4}\\ 2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}\\ 4x-2，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}\\ 4-4x，\frac{3}{4}≤x≤1\end{array}\right.$…（7分）
當$0≤x≤\frac{1}{4}$時，由4x=x，解得x=0，
因為f（0）=0，故x=0不是f（x）的二階周期點； …（8分）
當$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$時，由2-4x=x，解得$x=\frac{2}{5}$，
因為$f（{\frac{2}{5}}）=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}≠\frac{2}{5}$，故$x=\frac{2}{5}$是f（x）的二階周期點；    …（9分）
當$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$時，由4x-2=x，解得$x=\frac{2}{3}$，
因為$f（{\frac{2}{3}}）=2×（{1-\frac{2}{3}}）=\frac{2}{3}$，故$x=\frac{2}{3}$不是f（x）的二階周期點；  …（10分）
當$\frac{3}{4}≤x≤1$時，由4-4x=x，解得$x=\frac{4}{5}$，
因為$f（{\frac{4}{5}}）=2×（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{2}{5}≠\frac{4}{5}$，故$x=\frac{4}{5}$是f（x）的二階周期點； …（11分）
綜上，當$a=\frac{1}{2}$時，函數f（x）的二階周期點為x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=$\frac{4}{5}$．…（12分）

點評 本題考查分段函數的應用，新定義的應用，考查函數與方程的思想的應用，考查計算能力．