Question

8．已知數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，首項a₁=1，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）試猜想數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）n分別取2，3，4，5代入計算，即可求得結論；
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N*，用數學歸納法證明的關鍵是n=k+1時，變形利用歸納假設

解答 解：（1）∵S₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$）=a₁+a₂，即a₂²+2a₂-1=0，解得a₂=$\sqrt{2}$-1，
由S₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）=a₁+a₂+a₃，即a₃²+2$\sqrt{2}$a₃-1=0，解得a₂=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
同理可得a₄=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，a₅=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N*
下用數學歸納法證明：
①n=1時，a₁=1，滿足；
②假設當n=k（k≥1）時，結論成立，即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
此時S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）=$\sqrt{k}$
則當n=k+1時，S_k+1=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），即S_k+a_k+1=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
即2$\sqrt{k}$+2a_k+1=a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$，
整理得a_k+1²+2$\sqrt{k}$a_k=1-1=0，解得a₁=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$
即當n=k+1時，結論也成立
由①②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N*恒成立

點評 本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數學歸納法的運用，掌握數學歸納法的證題步驟是關鍵．