Question

14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$≤a，求2a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及余弦定理，轉化求解即可．
（2）利用正弦定理化簡2a-b的表達式，通過兩角和與差的三角函數化簡，結合角的范圍求解最值即可．

解答 解：（1）由已知和正弦定理得：（a-c）（a+c）=b（a-b）
故a²-c²=ab-b²，故a²+b²-c²=ab，----------（2分）
得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，所以$C=\frac{π}{3}$．----------（4分）
（2）因為$c=\sqrt{3}$，
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$
得a=2sinA，b=2sinB，---------------（6分）
$2a-b=4sinA-2sinB=4sinA-2sin（\frac{2π}{3}-A）$
=$3sinA-\sqrt{3}cosA=2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$-------------（8分）
因為c≤a，所以$\frac{π}{3}≤A＜\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}≤A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
所以$2a-b∈[{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$-------------（10分）

點評 考查正弦定理與余弦定理的應用，三角函數的化簡以及最值的求法，考查計算能力．