Question

5．已知數列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{a_{n-1}}-2，n=2k+1\\{a_{n-1}}+1，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），若a₁=1，則S₂₀=2056．

Answer 1

分析 由題意可得數列{a_n}的奇數項成首項為1，公比為2的等比數列，其偶數項比其前一項多1，運用分組求和和等比數列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：數列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{a_{n-1}}-2，n=2k+1\\{a_{n-1}}+1，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），a₁=1，
可得a₂=a₁+1=2，a₃=2a₂-2=2，a₄=a₃+1=3，a₅=2a₄-2=4，…，
可得數列{a_n}的奇數項成首項為1，公比為2的等比數列，
其偶數項比其前一項多1，
則S₂₀=（1+2+…+2⁹）+（2+3+…+2⁹+1）=$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$+10+$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$
=2¹¹+8=2056．
故答案為：2056．

點評 本題考查數列的求和，注意運用分段數列的特點，得到數列{a_n}的奇數項成首項為1，公比為2的等比數列，其偶數項比其前一項多1，是解題的關鍵，屬于中檔題．