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8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1⊥平面ABC,AB⊥AC,AA1=2$\sqrt{2}$,A1C=CA=AB=2.
(1)若D是AA1的中點(diǎn),求證:CD⊥平面ABB1A1
(2)若E是側(cè)棱BB1上的點(diǎn),且$\sqrt{3}$EB1=BB1,求二面角E-A1C1-A的大小.

分析 (1)由已知得AB⊥面ACC1A1,從而AB⊥CD,又CD⊥AA1,由此能證明CD⊥面ABB1A1
(2)以點(diǎn)C為坐標(biāo)系原點(diǎn),CA為x軸,過C點(diǎn)平行于AB的直線為y軸,CA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,利用向量法能求出二面角E-A1C1-A的大小為.

解答 (1)證明:∵面ACC1A1⊥面ABC,AB⊥AC,
∴AB⊥面ACC1A1,即AB⊥CD;
又AC=A1C,D為AA1中點(diǎn),∴CD⊥AA1
且AA1∩AB=A
∴CD⊥面ABB1A1.(6分)
(2)解:如圖所示,以點(diǎn)C為坐標(biāo)系原點(diǎn),CA為x軸,
過C點(diǎn)平行于AB的直線為y軸,CA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
則有A(2,0,0),B(2,2,0),A1(0,0,2),B1(0,2,2),C1(-2,0,2),
則$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=(-2,0,0)$,$\overrightarrow{{A}_{1}E}=\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow{{B}_{1}E}$=(0,2,0)+$\frac{\sqrt{3}}{3}(2,0,-2)$=($\frac{2\sqrt{3}}{3},2,-\frac{2\sqrt{3}}{3}$)
設(shè)面A1C1E的法向量為$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2y-\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$,可取$\overrightarrow{n}=(0,1,\sqrt{3})$
由條件得面A1C1A的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}=(0,1,0)$.
cos$<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}$
∵二面角E-A1C1-A為銳角,∴二面角E-A1C1-A的大小為$\frac{π}{3}$…12分

點(diǎn)評 題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的大小的求法及應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.屬于中檔題.

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