Question

8．若函數y=ksin（kx+φ）（$k＞0，|φ|＜\frac{π}{2}$）與函數y=kx-k²+6的部分圖象如圖所示，則函數f（x）=sin（kx-φ）+cos（kx-φ）圖象的一條對稱軸的方程可以為（　�。�

• A． $x=-\frac{π}{24}$
• B． $x=\frac{13π}{24}$
• C． $x=\frac{7π}{24}$
• D． $x=-\frac{13π}{24}$

Answer 1

分析 由函數的最大值求出A，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式，再利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性求得f（x）的圖象的一條對稱軸的方程．

解答 解：若函數y=ksin（kx+φ）（$k＞0，|φ|＜\frac{π}{2}$）與函數y=kx-k²+6的部分圖象如圖所示，
根據函數y=ksin（kπ+φ）（k＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為k，∴-k²+6=k，∴k=2．
把點（$\frac{π}{12}$，0）代入y=2sin（2x+φ）可得 sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，∴入y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
則函數f（x）=sin（kx-φ）+cos（kx-φ）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$）．
令2x+$\frac{5π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z，故f（x）的圖象的對稱軸的方程為得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z
當k=1時，可得函數f（x）=sin（kx-φ）+cos（kx-φ）圖象的一條對稱軸的方程可以為$\frac{13π}{24}$，
故選：B．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的最大值求出A，由特殊點的坐標求出φ的值；三角恒等變換、正弦函數的圖象的對稱性，屬于中檔題．