Question

已知函數f（x）=

2x-1，x≤1 f(x-1)+1，x＞1

，把函數f（x）的圖象與直線y=x交點的橫坐標按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的前10項和為

 

．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：根據函數的零點的定義，構造兩函數圖象的交點，交點的橫坐標即為函數的零點，再通過數列及通項公式的概念和求和公式即可得所求的解．

解答： 解：當x∈（-∞，1]時，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，
得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．
在同一個坐標系內作出兩函數在區間（-∞，1]上的圖象，
由圖象易知交點為（0，0）和（1，1），
故得到函數的零點為x₁=0，x₂=1．
當x∈（1，2]時，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1
=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．
在同一個坐標系內作出兩函數在區間（1，2]上的圖象，
由圖象易知交點為（2，2），故得到函數的零點為x₃=2．
當x∈（2，3]時，x-1∈（1，2]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2+1，y=x．
在同一個坐標系內作出兩函數在區間（2，3]上的圖象，
由圖象易知交點為（3，3），故得到函數的零點為x₄=3．
依此類推，當x∈（3，4]，x∈（4，5]，…，x∈（n，n+1]時，
構造的兩函數圖象的交點依次為（4，4），（5，5），…，（n+1，n+1），
得對應的零點分別為x=4，x=5，…，x=n+1．
故所有的零點從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．
其對應的數列的通項公式為a_n=n-1．
則該數列前10項和為

9×10

2

=45．
故答案為：45．

點評：本題主要考查了函數零點的概念及零點的求法、數列的概念及簡單表示；培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力；解題中使用了數形結合和分類討論的數學方法和數學思想．