Question

過點（2，1）作直線l與兩坐標軸交于A、B，設(shè)三角形AOB的面積為S，下列說法中正確的有

 

．
（1）當S=2時，直線l有2條符合條件的直線；
（2）當S=3時，直線l有3條符合條件的直線；
（3）當S=4時，直線l有4條符合條件的直線；
（4）當S=4時，直線l有3條符合條件的直線；
（5）當S=5時，直線l有4條符合條件的直線．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：由題意設(shè)所求直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，可得

2

a

+

1

b

=1，由面積公式可得S=

1

2

|ab|，結(jié)合一元二次方程根的個數(shù)的判斷逐個選項驗證可得．

解答： 解：由題意設(shè)所求直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
由直線過點（2，1）可得

2

a

+

1

b

=1，
由面積公式可得S=

1

2

|a||b|=

1

2

|ab|，
（1）當S=

1

2

|ab|=2即ab=±4時，可得

1

b

=±

a

4

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-4a+8=0或a²+4a-8=0，
由△₁=（-4）²-4×8＜0和△₂=4²+4×8＞0可知
有兩組不同的實數(shù)解a和b滿足題意，
故條符合條件的直線有2條，故（1）正確；
（2）當S=

1

2

|ab|=3即ab=±6時，可得

1

b

=±

a

6

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-6a+12=0或a²+6a-12=0，
由△₁=（-6）²-4×12＜0和△₂=6²+4×12＞0可知
有兩組不同的實數(shù)解a和b滿足題意，
故條符合條件的直線有2條，故（2）錯誤；
（3）當S=

1

2

|ab|=4即ab=±8時，可得

1

b

=±

a

8

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-8a+16=0或a²+8a-16=0，
由△₁=（-8）²-4×16=0和△₂=8²+4×16＞0可知
有三組不同的實數(shù)解a和b滿足題意，
故條符合條件的直線有3條，故（3）錯誤且（4）正確；
（5）當S=

1

2

|ab|=5即ab=±10時，可得

1

b

=±

a

10

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-10a+20=0或a²+10a-20=0，
由△₁=（-10）²-4×20＞0和△₂=10²+4×20＞0可知
有四組不同的實數(shù)解a和b滿足題意，
故條符合條件的直線有4條，故（5）正確．
故答案為：（1）（4）（5）

點評：本題考查直線的截距式方程和三角形的面積公式，涉及一元二次方程根的個數(shù)的判斷，屬中檔題．