Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知Q、P、R、S分別是各棱的中點．求證：平面PQS⊥平面B₁RC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：建立空間直角坐標系，先證PS垂直RC，PS垂直B₁R得到PS⊥平面 B₁RC，再利用面面垂直的判定定理解答．

解答： 證明：分別以BA，BC，BB'為x，y，z軸建立坐標系，設正方體的棱長為2，
則R（1，0，0），C（0，2，0），B₁（0，0，2），S（0，0，1），P（2，1，2），
所以

RC

=（-1，2，0），

B1C

=（0，2，-2），

PS

=（2，1，1），
因為

RC

•

PS

=-2+2+0=0，

B1C

•

PS

=0+2-2=0，
所以RC⊥PS，B₁C⊥PS，
所以PS⊥平面B₁RC，
PS?平面PSQ，
所以平面PQS⊥平面B₁RC．

點評：本題考查了正方體為載體的面面垂直的判斷；關鍵是將面面垂直轉化為線面垂直和線線垂直，體現了轉化的思想．