Question

已知等差數(shù)列{a_n}公差不為零，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，S₅=2a₄+4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•（

1

3

）ⁿ，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和題中的關(guān)系，建立首項(xiàng)a₁與公差d的方程組，解之得a₁=1，d=2，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）和題意求出b_n，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，且d≠0，
∵S₅=3a₄+4，
∴5a₁+10d=3（a₁+3d）+4…①
∵a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²…②
聯(lián)立①②及d≠0，得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）得，b_n=a_n•（

1

3

）ⁿ=（2n-1）（

1

3

）ⁿ，
所以T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，

1

3

T_n=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-1

3n+1

，
兩式相減得，

2

3

T_n=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
所以T_n=1-

n+1

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和錯(cuò)位相減法求和方法等知識(shí)，屬于中檔題．