Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為

6

4

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AE⊥AD、PA⊥AE，即可證明AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求出AP，求出平面AEF的一法向量，利用向量的夾角公式求二面角E-AF-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz，設AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（

3

，0，0），F（

3

2

，

1

2

，

a

2

），
所以

PB

=（

3

，-1，-a），且

AE

=（

3

，0，0）為平面PAD的法向量，
設直線PB與平面PAD所成的角為θ，
由sinθ=|cos＜

PB

，

AE

＞|=

| PB • AE |

| PB |•| AE |

=

3

4+a2 3

=

6

4

解得a=2．
所以

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1）
設平面AEF的一法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+Z1=0

取z₁=-1，則

m

=（0，2，-1），
因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故

BD

為平面AFC的一法向量，又

BD

=（-

3

，3，0），
所以cos＜

m

，

BD

＞=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
因為二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查用向量的方法解決二面角的問題，平面法向量的概念，向量夾角的余弦公式．