Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、是CC₁的中點，求證：PB∥面AD₁C．（用兩種方法）

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：方法一如圖所示，取C₁D₁的中點Q，連接BQ，PQ，得到平面QPB∥面AD₁C，繼而得到PB∥面AD₁C．
方法二，如圖所示取DD₁的中點E，連接PE，交CD₁于點F，得到PB∥AF，繼而得到PB∥面AD₁C．

解答： 解：方法一：取C₁D₁的中點Q，連接BQ，PQ，
∵P是CC₁的中點
∴PQ∥D₁C
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴QD₁=

1

2

CD=

1

2

C₁D₁，QD₁∥CD，
∵AB∥CD，CD=2，DD₁=AB=1
∴QD₁∥AB，QD₁=AB，
∴四邊形D₁ABQ為平行四邊形，
∴AD₁∥QB，
∵AD₁∩CD₁=D₁，BQ∩QP=Q，AD₁，CD₁?平面AD₁C，BQ，QP?平面BQP，
∴平面QPB∥面AD₁C，
∵PB?平面QPB，
∴PB∥平面AD₁C．
方法二，取DD₁的中點E，連接PE，交CD₁于點F，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴C₁D₁∥CD，
∴EP∥CD，FP=

1

2

CD，
∵AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，AB=1，
∴FP∥AB，FP=AB，
∴四邊形ABPF為平行四邊形，
∴PB∥AF，
∵AF?平面AD₁C，
∴PB∥平面面AD₁C．

點評：本題考查線面平行的證明，方法是利用面面平行和線線平行，注意空間思維能力的培養，屬于中檔題