Question

在四棱錐S-ABCD中，平面SAB⊥平面SAD，側面SAB是邊長為2

3

的等邊三角形，底面ABCD是矩形，且BC=4，則該四棱錐外接球的表面積等于

 

．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質,球內接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：依題意，設AB的中點為E，作圖如下，利用面面垂直的性質與線面垂直的判定定理可證得SE⊥底面ABCD，設該四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，O到底面的距離為h，則r²+h²=R²，即7+h²=R²=4+（3-h）²，可求得h與R，從而可得該四棱錐外接球的表面積．

解答： 解：∵平面SAB⊥平面SAD，平面SAB∩平面SAD=SA，側面SAB是邊長為2

3

的等邊三角形，設AB的中點為E，SA的中點為F，
則BF⊥SA，∴BF⊥平面SAD，∴BF⊥AD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面SAB，SE?平面SAB，
∴AD⊥SE，又SE⊥AB，AB∩AD=A，
∴SE⊥底面ABCD，作圖如下：

∵SAB是邊長為2

3

的等邊三角形，
∴SE=2

3

sin60°=2

3

×

3

2

=3．
又底面ABCD是矩形，且BC=4，
∴矩形ABCD的對角線長為

42+(2 3 )2

=2

7

，
∴矩形ABCD的外接圓的半徑為r=

7

．
設該四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，O到底面的距離為h，
則r²+h²=R²，即7+h²=R²，又R²=2²+（SE-h）²=4+（3-h）²，
∴7+h²=4+（3-h）²，
∴h=1．
∴R²=7+h²=8，R=2

2

，
∴該四棱錐外接球的表面積S_球=4π×（2

2

）²=32π．

點評：本題考查面面垂直的性質與線面垂直的判定定理，著重考查球內接多面體中球的半徑的運算，屬于難題．