Question

15．某年某學校游園有一個游戲，規則如下：盒子中有4個白球3個紅球，每次從中取出一球，如果取出紅球不放回，取出白球游戲結束．取出紅球個數為X，獎品為Y支鉛筆，Y=3-X，發放獎品后，把球全放回盒子，輪到下一名游戲者．
（1）試求某甲同學取出紅球個數分布列；
（2 ） 甲、乙同學都進行了一次游戲，求甲比乙獲鉛筆數多的概率．

Answer 1

分析 （1）紅球有3個，取出紅球個數為X，則X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列．
（2）甲、乙同學都進行了一次游戲，則甲比乙獲鉛筆數多的概率p=P（X=0）[1-P（X=0）]+P（X=1）[1-P（X=0）-p（X=1）]+P（X=2）P（X=3），由此能求出結果．

解答 解：（1）紅球有3個，取出紅球個數為X，則X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{1}}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=1）=$\frac{{A}_{3}^{1}{•A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{2}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{3}^{2}{•A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}{•A}_{4}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$；
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{35}$

（2）甲、乙同學都進行了一次游戲，
則甲比乙獲鉛筆數多的概率：
p=P（X=0）[1-P（X=0）]+P（X=1）[1-P（X=0）-p（X=1）]+P（X=2）P（X=3）
=$\frac{4}{7}×\frac{3}{7}$+$\frac{2}{7}×\frac{1}{7}$+$\frac{4}{35}×\frac{1}{35}$
=$\frac{354}{1225}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、互斥事件概率計算公式、相互獨立事件概率簡潔公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．