Question

7．已知數列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2，且a₁=2．
（I）求證：數列{a_n+1}是等比數列；
（II）判斷數列$\{\frac{{2×{3^n}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n與$\frac{1}{2}$的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出a_n+1+1=3（a_n+1），a₁+1=3，由此能證明數列{a_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數列．
（II）由數列{a_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數列，得到${a_n}={3^n}-1$，從而$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，由此利用裂項求和法能判斷數列$\{\frac{{2×{3^n}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n與$\frac{1}{2}$的大小關系．

解答 證明：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2，且a₁=2．
∴由題意可得a_n+1+1=3a_n+3，即a_n+1+1=3（a_n+1），
又a₁+1=3≠0，∴數列{a_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數列．
解：（II）T_n＜$\frac{1}{2}$．
∵數列{a_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數列，
∴${a}_{n}+1={3}^{n}$，即${a_n}={3^n}-1$，
∴$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，
∴數列$\{\frac{{2×{3^n}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和：
T_n=$\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}+\frac{1}{{3}^{3}-1}-\frac{1}{{3}^{4}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查等比數列的證明，考查數列的前n項和與$\frac{1}{2}$的大小關系的判斷與證明，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．