Question

12．設函數f（x）=|x-2|-|x+3|
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）若不等式f（x）＜3+a對任意x∈R恒成立，求實數a的取值．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區間上的x的范圍，取并集即可；
（2）問題轉化為|x-2|-|x+3|＜a+3，根據絕對值的性質得到a+3＞5，解出即可．

解答 解：（1）由|x-2|-|x+3|＜3，當x≤-3時，2-x+x+3＜3，解集為空集；
當-3＜x＜2時，2-x-（x+3）＜3，解得：-2＜x＜2；
當x≥2時，x-2-（x+3）＜3，解得：x≥2．
綜上所述，所求不等式解集為{x|x＞-2}．
（2）不等式f（x）＜3+a等價于|x-2|-|x+3|＜a+3，
∵|x-2|-|x+3|≤|x-2-（x+3）|=5（當且僅當x≤-3時取等號），
∴a+3＞5，即a＞2．故實數a的取值范圍為（2，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．