Question

17．設{a_n}為等差數列，S_n是其前n項和，已知S₇=7，S₁₅=75，T_n為數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項和，
（1）求a₁和d；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：根據等差數列前n項和的性質可知：S₇=7a₄=7，S₁₅=15a₈=75，求得a₄=1，a₈=5，由d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{4}}{8-4}$=1，a₄=a₁+（4-1）d=1，即可求得a₁的值；
（2）由（1）可知：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{5n}{2}$，則$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，當n=1時，$\frac{{S}_{1}}{1}$=-2，數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以-2為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數列，根據等差數列前n項和公式即可求得T_n．

解答 解：（1）設等差數列的公差為d，
由等差數列的性質可知：S₇=7a₄=7，S₁₅=15a₈=75，
則a₄=1，a₈=5，
∴d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{4}}{8-4}$=1，
由a₄=a₁+（4-1）d=1，
∴a₁=-2，
∴a₁為-2，d=1；
（2）由（1）可知：等差數列{a_n}前n項和S_n，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{5n}{2}$，
$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，
當n=1時，$\frac{{S}_{1}}{1}$=-2，
∴數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以-2為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數列，
∴T_n=$\frac{（-2+\frac{1}{2}n-\frac{5}{2}）n}{2}$=$\frac{1}{4}{n}^{2}-\frac{9}{4}n$，
數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{4}{n}^{2}-\frac{9}{4}n$．

點評 本題考查等差數列通項公式及前n項和性質，考查等差前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．