Question

2．若函數f（x）為定義在R上的奇函數，且在（0，+∞）為減函數，若f（2）=0，不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由題意：定義在R上的奇函數，可得f（-x）=-f（x），在（0，+∞）為減函數，即在R上是減函數，f（2）=0，不等式（x-1）f（x-1）＞0．即可求解．

解答 解：定義在R上的奇函數，可得f（-x）=-f（x），在（0，+∞）為減函數，即在R上是減函數，
∵f（2）=0，則f（-2）=0．
令t=x-1，不等式（x-1）f（x-1）＞0轉化為tf（t）＞0．
當t＞0時，則f（t）＜0，可得：t＞2，即x-1＞2，解得：x＞3；
當t＜0時，則f（t）＞0，可得：t＜-2，即x-1＜-2，解得：x＜-1；
綜上所得：不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點評 本題考查了函數的性質奇偶性的運用和單調性的運用．屬于中檔題．