Question

13．已知函數f（x）=x²-4|x|+3，x∈R．
（1）判斷函數的奇偶性并將函數寫成分段函數的形式；
（2）畫出函數的圖象，根據圖象寫出它的單調區間；
（3）若函數f（x）的圖象與y=a的圖象有四個不同交點，則實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=f（x）得函數為偶函數，對x分類討論：x≥0，x＜0得分段函數的解析式；
（2）由分段函數分兩種情況作二次函數的圖象；
（3）由圖象可知函數的單調區間及值域．

解答 解：（1）因為函數的定義域為R，關于坐標原點對稱，
且f（-x）=（-x）²-4|-x|+3=x²-4|x|+3=f（x），
故函數為偶函數．
f（x）=x²-4|x|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≥0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$
（2）如圖，
單調增區間為：：[-2，0），[2，+∞），
單調減區間為（-∞，-2），[0，2]．
（3）由函數的圖象可知：函數f（x）的圖象與y=a的圖象有四個不同交點，則實數a的取值范圍：（-1，3）．

點評 本題考查函數的圖象及性質．考查數形結合思想，轉化思想以及計算能力．