Question

3．已知定義域為R的函數$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）用定義證明：f（x）為R上的奇函數；
（2）用定義證明：f（x）在R上為減函數；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為f（-x）=$\frac{{-2}^{-x}+1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-1+{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），利用奇函數的定義即可證明f（x）為R上的奇函數；
（2）令x₁＜x₂，則${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，將f（x₁）與f（x₂）作差，利用函數單調性的定義可證明：f（x）在R上為減函數；
（3）由（1）（2）可知奇函數f（x）在R上為減函數，故f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立?t²-2t＞k-2t²恒成立，即k＜（3t²-2t）_min，利用二次函數的單調性質可求得（3t²-2t）_min，從而可求k的取值范圍．

解答 （1）證明：∵$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^x}+1}}$，
∴f（-x）=$\frac{{-2}^{-x}+1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-1+{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）為R上的奇函數；…5分
（2）解：∵$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
令x₁＜x₂，則${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{2}^{{{x}_{1}+x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上為減函數；…11分
（3）解：∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，f（x）為R上的奇函數，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），又f（x）在R上為減函數，
∴t²-2t＞k-2t²恒成立，
∴k＜（3t²-2t）_min，由二次函數的單調性質知，當t=$\frac{1}{3}$時，y=（3t²-2t）_min，取得最小值，即（3t²-2t）_min，=3×（$\frac{1}{3}$）²-2×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$．
∴$k＜-\frac{1}{3}$…16分．

點評 本題考查函數恒成立問題，突出考查函數的奇偶性與單調性的判定及綜合運用，考查轉化思想與函數與方程思想，屬于難題．