Question

13．函數f（x）是定義域為R的奇函數，且x≤0時，$f（x）={2^x}-\frac{1}{2}x+a$，則函數f（x）的零點個數是3．

Answer 1

分析 根據函數f（x）是奇函數，利用f（0）=0，先求出a，然后利用數形結合確定當x＜0時的零點個數即可得到函數f（x）的零點個數．

解答 解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，且x≤0時，$f（x）={2^x}-\frac{1}{2}x+a$，
∴f（0）=0，即f（0）=1+a=0，
解得a=-1，
∴x≤0時，f（x）=2^x-$\frac{1}{2}$x-1，
∵f（0）=0，∴x=0是函數f（x）的一個零點．
根據函數是奇函數的對稱性，只需要判斷當x＜0時，函數f（x）的零點個數即可．
當x＜0時，由f（x）=2^x-$\frac{1}{2}$x-1=0得2^x=$\frac{1}{2}$x+1，
分別作出函數y=2^x，y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象如圖：
由圖象可知當x＜0時，兩個函數只有一個交點，
根據奇函數的性質可知，當x＞0時，兩個函數也只有一個交點，
故函數f（x）的零點個數為3個．
故答案為：3．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，根據函數奇偶性的對稱性判斷函數在x＜0時的零點個數是解決本題的關鍵，利用數形結合的思想去解決問題．