Question

15．設(shè)常數(shù)a＞0，（x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁹展開式中x⁶的系數(shù)為4，則$\underset{lim}{n→∞}$（a+a²+…+aⁿ）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由${T}_{r+1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}{a}^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=${{a}^{r}C}_{9}^{r}{x}^{\frac{18-3r}{2}}$，根據(jù)x⁶的系數(shù)為4，求出r=2，從而${a}^{2}{C}_{9}^{2}$=4，解得a=$\frac{1}{3}$，由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$（a+a²+…+aⁿ）的值．

解答 解：∵常數(shù)a＞0，（x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁹展開式中x⁶的系數(shù)為4，
∴${T}_{r+1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}{a}^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=${{a}^{r}C}_{9}^{r}{x}^{\frac{18-3r}{2}}$，
當(dāng)$\frac{18-3r}{2}=6$時，r=2，
∴${a}^{2}{C}_{9}^{2}$=4，解得a=$\frac{1}{3}$，
∴a+a²+…+aⁿ=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a+a²+…+aⁿ）=$\underset{lim}{n→∞}[\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）]$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和極限的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項式定理、極限性質(zhì)的合理運用．